Método Numérico
La variable independiente: longitudes de onda milimétricas, submilimétricas e infrarrojas
La variable independiente en LM representa al conjunto de datos que se evalúan en la función. En este trabajo, la variable independiente (\(\nu\)) es un conjunto de frecuencias del espectro electromagnético en longitudes de onda milimétricas, submilimétricas e infrarrojas: $$ \nu = {\nu_1, \nu_2, ..., \nu_k} $$ donde k es el número de puntos en el espectro electromagnético observado y ni son las frecuencias centrales de las observaciones de radio restringidas a cubrir las 10 bandas por Atacama Large Millimeter / submillimeter Array (ALMA, de 35 a 950 GHz) y Spitzer (12,5 THz): $$ 35 GHz \leq \nu_i \leq 12.5 Thz $$ Este rango de frecuencias nos permite utilizar las propiedades tomográficas de la emisión para estimar la temperatura radial y el perfil de densidad evolucionado en el espectro electromagnético sintético (De la Luz 2016).
La función paramétrica: PakalMPI
LM requiere un modelo de función que recibe la variable independiente (\(\nu\)) y un conjunto de parámetros (\(T_r\)) que se ajustan al modelo. En nuestro caso, modificamos el modelo PakalMPI (De la Luz et al. 2010, 2011) para que funcione como una función paramétrica. El modelo PakalMPI utiliza mecanismos de Bremsstrahlung (Dulk 1985; Güdel 2002), Bremsstrahlung inverso (Golovinskii y Zon 1980) y H- (Zheleznyakov 1996) como fuente de opacidad. Sin embargo, Bremsstrahlung y H- son los mecanismos de emisión térmica más importantes en la cromosfera (De la Luz et al. 2011). El conjunto de parámetros son puntos de temperatura que representan el perfil de temperatura radial en estudio: $$ T_r = {T_1, T_2, ..., T_N} $$ donde n es el número de capas en el perfil de temperatura radial y \(T_i\) es la temperatura radial a cierta altura sobre la fotosfera de un modelo semiempírico. Usamos el modelo C7 (Avrett & Loeser 2008) como condición inicial (la temperatura y densidad radial) porque es un modelo consistente de la cromosfera solar especialmente en la temperatura mínima (De la Luz et al. 2014). El modelo C7 es un modelo unidimensional e independiente del tiempo del promedio de Sol quieto. Este modelo reemplazó al anterior modelo C de Vernazza et al. (1981) y toma en cuenta observaciones del espectro ultravioleta extremo y dos mediciones en la región submilimétrica para obtener un buen promedio de la temperatura mínima. Sin embargo, este modelo no reproduce correctamente las observaciones en el rango submilimétrico, milimétrico y de radio (De la Luz 2016). De la Luz et al. (2014) mostró que modificando el perfil de temperatura, es posible calcular un mejor ajuste en esta región del espectro. El nuevo modelo obtenido fue compatible con la teoría presentada por Avrett & Loeser (2008).
La variable independiente: Observaciones de estrellas de tipo solar a longitudes de onda milimétricas, submilimétricas e infrarrojas
En este trabajo, la variable dependiente está representada por el espectro observado: $$ T_b = {T^{\nu_1}_b, T^{\nu_2}_b, ..., T^{\nu_k}_b} $$ donde \(T^{\nu_k}_b\) es un punto observado en el espectro electromagnético. El desarrollo de nueva infraestructura (ALMA, el Gran Telescopio Milimétrico, etc.) nos permite estudiar las estrellas de la secuencia principal en régimen mm/sub-mm. La emisión en estas longitudes de onda se origina en la cromosfera principalmente a la emisión libre-libre (Dulk 1985; Loukitcheva et al. 2004; Wedemeyer et al. 2016) e interacción neutra (Zheleznyakov 1996) pero en general, no está bien restringida (Cranmer et al.2013). El primer sistema estelar binario que se ha observado y estudiado en este régimen ha sido Alpha Centauri (\(\alpha\) Cen) ubicado en 1.3384 \(\pm\) 0.0011pc (Kervella et al.2017). El sistema \(\alpha\) Cen está compuesto por dos estrellas: \(\alpha\) Cen A (G2 V) y \(\alpha\) Cen B (K1 V). En ambos, la temperatura mínima fue observada por Liseau et al. (2013) en el infrarrojo lejano. Liseau et al. (2016) mostró que una estructura atmosférica similar al Sol se puede adaptar a estrellas de tipo solar. Para probar nuestro modelo, hemos elegido \(\alpha\) Cen A ya que a menudo se considera un gemelo solar (Cayrel de Strobel 1996) y tiene observaciones desde el infrarrojo lejano hasta el rango milimétrico (Liseau et al. 2016).
El modelo Kinich Pakal
Hay varias implementaciones del algoritmo LM (Marquardt 1963; Press et al. 1986; Pujol 2007). En este trabajo, utilizamos el paquete de mínimos cuadrados (LsqFit) desarrollado por el equipo de Julia Optim (Mogensen & Riseth 2018). El modelo que presentamos en este trabajo se llama Kinich Pakal (KP). El objetivo de KP es calcular el mejor modelo de la atmósfera estelar para ajustar el espectro sintético a las observaciones en longitudes de onda milimétricas, submilimétricas e infrarrojas. En la Figura 1, mostramos el pseudocódigo de KP. Empezamos leyendo las condiciones iniciales de un solo modelo que incluye: la temperatura radial, la densidad del hidrógeno y la presión. KP lee los perfiles radiales y las observaciones y comienza los cálculos de forma iterativa utilizando PakalMPI como modelo de función. En cada iteración, KP calcula el equilibrio hidrostático de la atmósfera de entrada y calcula su espectro sintético. Los cálculos del espectro sintético se realizan en paralelo para cada frecuencia. Si las diferencias entre el espectro observado y el sintético son mayores que una bandera de parada épsilon, entonces la atmósfera calculada se convierte en la condición inicial para la siguiente iteración y el proceso continúa avanzando. KP tiene varios indicadores que limitan el método LM. Las restricciones incluyen: establecer los límites globales de la solución, limitar la solución en un rango definido y la tolerancia absoluta al error contra el conjunto de observaciones. El rendimiento de KP depende de las restricciones impuestas.
